Если пароль root-а или пользователя не менялся с самого начала, дату установки можно узнать из файла /etc/shadow. Третье поле в строке количество дней с 1 января 1970 года по дату смены пароля.
$ date --date="1970-01-01+15331days"
Пт. дек. 23 00:00:00 MSK 2011
В моём случае дата соответствует первой записи в pacman.log.
[2011-12-23 11:47] installed filesystem (2011.08-1)
[2011-12-23 11:47] installed util-linux (2.19.1-3)
[2011-12-23 11:47] installed libusb (1.0.8-1)
[2011-12-23 11:47] installed libusb-compat (0.1.3-1)
[2011-12-23 11:47] installed pcre (8.13-1)
Я и не ожидал что так долго сижу на арче. До этого на один дистрибутив максимум пять месяцев.